Übertragungsbeziehungen der Stabtheorie I Ordnung¶
Note
todo: Abbildungen
Grundlagen¶
Ausgangspunkt der Herleitung der Übertragungsbeziehungen von Stäben mit linear veränderlicher Höhe sind die die Differentialgleichungen (1) des Biegeproblems der Stabtheorie I. Ordnung
Important
Die Differnetialgleichungen sind spezialisiert für den Fall der Schubstarrheit \(G\tilde{A}(x)=\infty\)
Integrationsschritte¶
Die gesuchten, von x abhängigen, Zustandsgrößen ergeben sich durch Schritt für Schritt aufintegrieren und einsetzen der Differnetialgleichungen (1). Nach jedem Integrationsschritt werden die Integrationskonstanten auf die andere Seite gebracht sowie die lastabhängigen Terme zu sogenannte Lastglieder zusammengefasst. (todo: ref Funktion load_integrals). Zusätzlich wird zur Vereinfachung der Integrale die dimensionslose Funktion \(f(x)\) eingeführt.
Zusammenfassen zu den Übertragungsbeziehungen¶
Durch das Anschreiben der Gleichungen aus (2) in Matrix Vektor Notation ergeben sich die Übertragungsbeziehungen für einen Stab mit linear veränderlicher Höhe vom Stabanfang bis zu einem beliebigen Punkt x zu:
Zweigliedrige Stabkonstruktion¶
Handstatik¶
import stanpy as stp
from sympy.abc import x
E = 3*10**7 # kN/m²
q = 10 # kN/m
l = 2 # m
b, ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m
hx = ha+(hb-ha)/l*x # m
cs1_props = stp.cs(b=b, h=ha)
cs2_props = stp.cs(b=b, h=hx)
s_1 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs1_props["I"]}
s_2 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs2_props["I"]}
f_ba = stp.tr(s1)
f_cb = stp.tr(s2)
f_ca = f_cb * f_ba
z_a = {"w":0, "M":0}
z_c = {"w":0, "phi":0}
z_c, z_a = stp.solve_tr(z_c, f_ca, z_a)
z_b = f_ba*z_a
s_1 = stp.inject_bc(s_1, z_a, z_b)
s_2 = stp.inject_bc(s_2, z_b, z_c)
Development-Box¶
Note
Definition der Variablen
- für jeden Stab:
berechnen der Querschnittswerte berechnen der b Integrale berechnen der Lastintegrale einsetzen in Übertragungsbeziehung
Definition der Randbedingunen zusammenführen der Übertragungsbeziehungen Solven der Übertragungsbeziehungen
import stanpy as stp
from sympy.abc import x
E = 3*10**7 # kN/m²
q = 10 # kN/m
l = 2 # m
b, ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m
hx = ha+(hb-ha)/l*x # m
cs1_prop = stp.cs(b=b, h=ha)
cs2_prop = stp.cs(b=b, h=hx)
s_1 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs1_prop["I"]}
s_2 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs2_prop["I"]}
f_ba = stp.tr(s1)
f_cb = stp.tr(s2)
f_ca = f_cb * f_ba
z_a = {"w":0, "M":0}
z_c = {"w":0, "phi":0}
z_c, z_a = stp.solve_tr(z_c, f_ca, z_a)
z_b = f_ba*z_a
s_1 = stp.inject_bc(s_1, z_a, z_b)
s_2 = stp.inject_bc(s_2, z_b, z_c)
Black-Box¶
import stanpy as stp
from sympy.abc import x
E = 3*10**7 # kN/m²
q = 10 # kN/m
l = 2 # m
b, ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m
hx = ha+(hb-ha)/l*x # m
cs1_prop = stp.cs(b=b, h=ha)
cs2_prop = stp.cs(b=b, h=hx)
bc_a = {"w":0, "M":0} # Randbedingung in a
bc_c = {"w":0, "phi":0} # Randbedingung in c
s_1 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs1_prop["I"], "bci":bc_a}
s_2 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs2_prop["I"], "bck":bc_c}
s_1, s_2 = stp.solve(s_1, s_2)